神经网络稳定性理论
李燕玲
摘 要：对一类带有脉冲条件的神经网络的平衡点进行了分析，根据模型特点，构造了合适的迭代映射，利用迭代分析方法，研究了系统周期解的存在性，并得到了平衡点的一致稳定性结论，推广并改进了已有文献的相关结论。
关键词：神经网络；脉冲；平衡点；一致稳定；周期解
中图分类号：O175.13 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）07-0035-03
Stability and Periodicity of a Kind of Neural Networks with Impulsive Effects
Li Yanling
（College of Computer Science， Civil Aviation Flight University of China， Guanghan Sichuan 618307）
Abstract：The equilibrium points of a class of cellular neural networks with impulsive conditions are analyzed. According to the characteristics of the model， an appropriate iterative mapping is constructed. The existence of periodic solutions of the system is studied by iterative analysis method， the uniform stability of equilibrium point is obtained. The related conclusions are extended and improved.
Key words：neural networks；impulses；equilibrium point；uniform stability；T-periodic solution
1 引言
细胞神经网络模型是目前广泛应用的人工神经网络模型之一，它是由L.O.Chua于1988年在积累了多年的对非线性运放电路的研究的基础上提出的，目前已广泛的应用于各个学科领域
（1）
其中
代表电容，代表电阻，xi代表电压，和分别表示电流和输出电压。
许多进化过程在特定的时刻会表现出他们状态的突然变化，例如生物学上的阈值现象，爆破模型，经济学中的最优控制模型，以及电路网络和频率调制系统等等，这些状态的突变就可以用脉冲微分方程来描述。脉冲微分方程能够充分考虑系统受到瞬时突变现象的影响，能够更精准地反映事物的变化规律。经典的脉冲微分方程理论见参考文献[11，12]。神经网络是由许多神经元构成，其结构类似于细胞自动控制，即网络中的每一个神经元与它的邻近神经元发生连接，所以在神经网络系统中，脉冲对神经元的影响也是不容忽视的，脉冲条件往往会令原本稳定的系统变得不再稳定。文献[3，4]对带脉冲的Hopfield神经网络进行了深入的研究。
本文考虑以下带脉冲条件的神经网络模型：
（2）
其中
表示
在脉冲时刻系统所产生的爆破量，均为常数，且，xi（t）表示t时刻第i个神经元的状态，是第i单元的非线性的输入输出激励函数，是定义在上的连续函数。
令
在点外处处连续，存在，且
在点外处处连续，存在，.令，
在对神经网络的众多研究中，利用系统的平衡点来研究解的各种性质也是非常常见，并得到了一系列的很好的结论，见文献[1]-[5]。为了解决在优化领域、神经网络控制与信号处理等方面的问题，神经网络往往设计成只有一个平衡点，而且希望这个平衡点是一致稳定的，从而能够有效地避免平衡点的杂散和局部极小的风险。接下来的文章中，我们试图通过研究问题（2）的平衡点的稳定性，来给出判定平衡点一致稳定的方法和结果。文献[1]中，利用Lyapunov函数的方法得到了问题（2）不带脉冲条件下平衡点的存在唯一性和稳定性条件。本文，我们利用迭代分析方法研究问题（2），得到了新的存在性和稳定性结果，该结果从两个方面体现了优越性和应用性：一是加入了脉冲条件，考虑的系统比文献[1]更有应用价值；二是采用的方法相比构造Lyapunov函数的方法，更易操作，结果显著推广了文献[1]中的相关结论。
设是问题（2）的一个平衡点，令
得：
为了证明问题（2）的平衡点稳定，接下来我们证明以下问题的平凡解稳定：
（3）
这里
定义范数：
。
2 预备知识
定义1.1若一个分段连续函数满足以下三个条件，则称之为问题（2）的一组T-周期解：
（1）对于任意的满足问题（2）；
（2），均有
（3）在處处连续，并且对于存在。
以下是本文的基本假设条件：
（H1）在R上有界，对于以及任意，必存在常数，使得成立；
（H2）对于以及任意，必存在常数，使得成立；
我们记
（H3）0
（H4）存在常数和，使得
。
引理2.1[1] 对于神经元的输出项如果具有性质（H1）和（H4），则系统（1）的平衡点唯一存在，且全局指数稳定。
引理2.2 脉冲神经网络系统（3）的T-周期解
可以表示成以下积分形式：
其中
證明：令则满足以下边值问题
其中
。
当时，我们利用初始值来考虑问题（3），
现在我们在区间上重复以上步骤，可以得到下式成立：
上式中我们令t=T，将代入，可以得到对于任意的都有下式成立：
引理2.2得证。
引理2.3 脉冲神经网络系统（2）的T-周期解
可以表示成下列积分形式：
其中
3 主要结论
定理3.1 若假设条件（H1）-（H3）满足，则脉冲神经网络系统（3）一定存在T-周期解，并且满足
（4）
证明：我们定义如下迭代序列：
由数学归纳法易证下面的不等式对于任意均成立：
均有
由柯西收敛定理知，序列在[0，T]上一致收敛，记则为初始值问题（3）的一组T-周期解，并且满足不等式（4）。
定理3.1证明完毕。
定理3.2 若假设条件（H1）-（H3）满足，则脉冲神经网络系统（2）一定存在T-周期解.
定理3.3 若假设条件（H1）-（H3）满足，则脉冲神经网络系统（3）的平凡解是一致稳定的。
证明：对于任意的令是系统（3）满足初始条件的一个解。现假设系统（3）的平凡解不是稳定的，则一定存在某个对任意的，总存在某个，当时，有
（5）
成立。由定理3.1，我们知道此时若取，则当时，有成立，所以，当时，有成立，这与（5）式矛盾。故原假设不成立，即系统（3）的平凡解是稳定的。由于与无关，故脉冲神经网络系统（3）的平凡解是一致稳定的。
定理3.4 若假设条件（H1）-（H3）满足，则脉冲神经网络系统（2）的平衡点是一致稳定的。
参考文献
[1]王春景.一类神经网络模型的稳定性分析[J].科技创新导报，2009（13）：195-196.Wang Chunjing. Stability analysis of a kind of neural network[J].Science and Technology Innovation Herald. 2009；（13）：195-196.
[2]Yang Zhichun and Xu Daoyi.Global exponential stability of Hopfield neural networks with wariable delays and impulsive effects.[J].Appl.Math.Mech.，2006；27（11）：1517-1522.
[3]H.Akca， R.Alassar， V.Covachev， Z.Covachev， E.A. Zahrani. Continuous-time additive Hopfield-type neural networks with impulses[J]. J. Math. Anal. Appl. ，2004； （290）：436-451.
[4]Z.Guan and G.Chen. On delayed impulsive Hopfield neural networks [J]. Neural Networks， 1999；（12）：273-280.
[5]Z.Guan， J.Lam， G.Chen. On impulsive autoassociative neural networks[J]. Neural Networks， 2000；（13）：63-69.
[6]Yongqing Yang， Jinde Cao. Stability and periodicity in delayed cellular neural networks with impulsive effects[J].Analysis： Real Word Applications， 2007；（8）：362--374.
[7]J.J. Nieto. Basic theory for nonresonance impulsive periodic problems of first order equations[J]. J. Math. Anal. Appl.， 1997；（205）： 423-433.
[8]Jianli Li， J.J. Nieto， Jianhua Shen. Impulsive periodicboundary value problems of first-order differential equations[J]. J. Math. Anal. Appl.， 2007；（325）： 226-236.
[9]Zhimin He， Jianshe Yu. Periodic boundary value problems for first-order impulsive functional differential equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2002；（138）： 205-217.
[10]E.Liz， J.J. Nieto. Periodic boundary value problems for a class of functional differential equations[J]. J. Math. Anal.Appl.， 1996；（200）：680-686.
[11]V.Lakshmikantham， D.D. Bainov， P.S. Simeonov. Theory of Impulsive Differential Equations. World Scientific[C]， Singapore， 1989.
[12]D.D. Bainov， P.S. Simeonov. Impulsive Differential Equations： Periodic Solutions and Applications[C]. Longman， Harlow， 1993.
