葛迪 姚波 王福忠
摘要：针对含有状态不确定项的线性系统，提出具有执行器故障的静态输出反馈控制问题。首先给出在不考虑故障时设计控制器使系统保持渐近稳定的充分条件；然后讨论对于同一系统同一控制器在考虑执行器故障时系统出现不稳定；接下来，针对同一故障模型重新设计静态输出反馈控制器使系统在发生故障后仍保持渐近稳定。最后，数值仿真验证了本文结果的有效性。
关键词：执行器故障；静态输出反馈；不确定系统；线性矩阵不等式（LMI）
中图分类号：TP13文献标识码：A
1引言
在工业上，对于机器来讲，经常会出现不同程度上的执行器通道故障，就会造成损失。所以，设计一个控制器使系统即使在发生故障时仍可以保持稳定以确保系统可以正常运行时具有实际意义的。可靠控制描述的是对于一个系统，无论是否发生执行器或传感器故障都可以通过设计控制器，使其仍可以保持稳定并满足一定的性能指标。可靠控制是由Siljak在20世纪70年代第一次提出，之后引起了很多研究者的广泛关注[1-3]。文献[4]讨论了具有双故障的动态输出反馈控制器基于LMI设计方法。文献[5]针对不确定线性定常系统，提出了具有执行器故障的可靠跟踪控制器问题。不确定性是非常常见的物理现象，它会导致系统出现不稳定现象或者导致一些性能指标下降。文献[6]讨论了不确定系统的状态反馈和动态输出反馈控制器设计问题。文献[7]研究不确定系统状态反馈极点配置。静态输出反馈是控制理论和应用中最基本的问题之一，近年来研究者对系统的静态输出反馈控制提出了许多方法。文献[8]针对随机混合系统利用线性矩阵不等式方法设计了无脉冲和随机稳定的静态输出反馈控制器。文献[9]利用静态输出反馈特征多项式的特征值方法设计控制器。文献[10]运用消除引理给出了一个稳定的静态输出反馈线性凸多面体系统的设计。文献[11]通过构造一个二次Lyapunov函数，保证闭环扩散偏微分方程和常微分方程叶栅系统全局指数稳定，提出了线性矩阵不等式的约束条件，基于LMI方法设计控制器。文献[12]运用锥补线性算法求解静态输出反馈控制器。以上的文章中，有的涉及可靠控制，有的涉及静态输出反馈，也已经达到了比较完善的程度。但是都为涉及到具有执行器故障的静态输出反馈可靠控制。
本文研究了不确定系统具有执行器故障的静态输出反馈控制系统，利用LMI给出了控制器的存在条件以及设计方法。所给出的控制器保证了系统在无故障时和发生执行器故障时闭环系统均仍保持稳定。数值仿真验证了本文结果的有效性。
2问题描述
考虑线性不确定系统：
（t）=[A+ΔA]x（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）（1）
其中，x（t）∈Rn是状态标量，u（t）∈Rm是控制变量，y（t）∈Rp是输出变量，A，B是适维矩阵，C是适维行满秩矩阵，ΔA为不确定且满足如下条件：
ΔA=DH（t）E
式中，D，E为适维维数的常数矩阵；H（t）为未知的时变实值连续矩阵函数，其元素Lebegue可测，且：
HT（t）H（t）≤I
执行器连续增益故障矩阵模型为：
uF=Fau
故障处理：
Fa=diag（fa1，fa2，…，fan）f-ai≤fai≤ai0≤f-ai≤1，ai≥1，f-ai≠ai（i=1，2，…，m）jai=ai-f-aiai+f-ai，fai0=12（f-ai+ai），lai=fai-fai0fai0
对于执行器故障矩阵可以得到如下关系：
Fa=Fa0（I+Ls），|La|≤Ja≤I
引理1[13]：设E，F为适维定常矩阵，∑=diag（σ1，σ2，…，σr）为时变适维对角矩阵，且σTiσ≤I，i=1，2，…，r。那么对于任意的实矩阵Λ=diag（λ1I，λ2I，…，λrI）>0有
E∑F+FT∑TET≤EΛET+FTΛ-1F
引理1[14]：设X和Y为适维定常矩阵，H为适维时变矩阵，且满足HTH≤I，那么对任意常数ε>0有
XHY+YTHTXT≤εXXT+ε-1YTY
计算技术与自动化2016年3月
第35卷第1期葛迪等：不确定系统静态输出反馈可靠控制
3主要结论
定理1：已知S是n×n正定对称矩阵（m≤n），则矩阵CSC′可逆。
证明：若要证明矩阵CSC′可逆，只需证明方程
CSC′X=0
只有零解。
则有
X′CSC′X=0
即
（C′X）′S（C′X）=0
由已知可得：
C′X=0
有
CC′X=0
故方程只有零解。定理得证。
首先讨论在不考虑执行器故障模型情况下，给出了正常不确定系统静态输出反馈可靠控制器设计：
对不确定系统（1）引入静态输出反馈控制器：
u（t）=Ky（t）（2）
由此得到闭环系统：
（t）=（A+BKC+DH（t）E）x（t）（3）
定理2：对于不确定系统（1），如果存在标量ε>0及对称正定矩阵S和矩阵K，U，V使得：
Π+ΠT+εDDTSETES-εI<0（4）
VC=CV（5）
其中，Π=AS+BUC
那么存在静态输出反馈控制
K=UV-1（6）
使闭环系统（3）渐近稳定。
证明：运用李雅普诺夫定理，引入V（t）=xT（t）Px（t）则有：
（t）=T（t）Px（t）+xT（t）P（t）=
