何静++周伟林
摘 要： 为探究硅基纳米波导中自由载流子吸收效应对皮秒脉冲整形的影响，采用改进的分步傅立叶法和四阶龙格库塔法，分析了脉冲峰值功率、脉冲宽度等参数对波导中自由载流子吸收系数和脉冲波形演变的影响，并对不同峰值功率下脉宽为100ps脉冲的波形演变进行了数值模拟。数值模拟表明，脉冲宽度不变时，峰值功率越大，波导中载流子吸收系数变化越快，脉冲波形演变也越明显； 当脉冲峰值功率为50W时，在短短6mm的传输距离中，脉冲经历了快速展宽和压缩过程，其脉冲宽度最大为，展宽比为44%；最小为，脉冲压缩比达36.1%。
关键词： 皮秒脉冲； 硅基纳米波导； 自由载流子吸收； 脉冲整形
中图分类号：TN929.11 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2016）03-04-04
Numerical simulation for pico-second pulse shaping in silicon nanometer waveguide
He Jing1， Zhou Weilin1，2
（1. School of Computer and Information Engineering， Hunan Business College， Changsha， Hunan 410205， China；
2. School of Optical and Electronic Information， Huazhong University of Science and Technology）
Abstract： To explore the effect of free carrier absorption （FCA） on pico-second pulse shaping in silicon nanometer waveguide， the combination of improved step-split Fourier and four-order Runge Kutta method is adopted. The influences of peak power and width of pulse upon the FCA and pulse waveform evolution are analyzed， and the pulse waveform evolution of 100Ps pulse with different peak powers is simulated numerically. The numerical simulations show that， when the pulse width unchanged， the more the peak power is， the more quickly the FCA coefficient changes， and the more strongly the pulse evolutes. When the pulse peak power is 50W， in a 6mm short transmission distance， pulse has experienced rapid broadening and compression process. The maximum pulse broadening and compression are found to be 1.44T0p and 0.6392T0p， the corresponding broadening and compression rates are 44% and 36.1% respectively.
Key words： pico-second pulse； silicon nanometer waveguide； FCA； pulse shaping
0 引言
硅基纳米波导中的双光子吸收和自由载流子吸收效应均具有非常强的瞬态特性，同时，由于双光子吸收和自由载流子吸收的相对时延特性，从而引起了传输脉冲光功率和形状的改变 [1-3]，使得它们在皮秒脉冲整形上具有独到的应用。然而，探求硅基纳米波导中的自由载流子密度的定量变化情况异常复杂，需要对非线性传输方程和速率方程进行联合求解。本文采用改进的分步傅立叶法和四阶龙格库塔法对硅基纳米波导中皮秒脉冲传输所满足的非线性传输方程及速率方程进行联合数值求解。数值模拟了硅基纳米波导中皮秒脉冲传输的脉冲整形过程，分析了脉冲功率、脉冲宽度等参数对脉冲整形的影响。
1 脉冲传输模型
一般情况下，当传输脉冲的宽度为皮秒量级时，硅基纳米波导的长度远远小于色散长度，色散效应相对较弱，往往可被忽略，脉冲在硅基纳米波导中传输时可由以下简化的脉冲传输方程来描述[4]。
其中，u为脉冲包络幅度，k0=2π/λ真空中的波数，n2是非线性克尔系数，σ为自由载流子吸收系数，αL是线性损耗系数，μ为自由载流子色散系数，r=βTPA/（2k0n2）是无量纲量，表示双光子吸收效应和克尔效应的相对强度。Nc是波导中的自由载流子密度，满足如下速率方程[5]：
其中，tc表示自由载流子寿命，αeff为波导的有效横截面积。
2 数值模拟及结果
2.1 改进分步傅立叶法
改进分步傅立叶法也称为对称傅立叶法，它假设在脉冲传输的一个很小的距离h中，色散效应和非线性效应分别作用。光场从z=0到z=h的传输过程中分三步进行：第一步，前h/2距离内仅色散作用；第二步，整个h距离内仅有非线性作用；第三步，后h/2距离内又仅有色散作用，其算法示意图如图1。
结合非线性传输方程，传输光场的时域和频域可分别表示为：
其中，为微分算子，表示线性介质的色散和吸收，包含了方程中所有的线性项；为非线性算子，包含了方程中所有的非线性项，FT表示傅立叶变换，是用iω代替微分算符得到，ω为频率。因此，若入射光脉冲的初始值u（0，t），通过以上反复迭代运算后就可以获得传输距离z后脉冲的幅度情况u（z，t）。
2.2 四阶龙格库塔法
龙格-库塔法是由泰勒方法推导而来，常用来对非线性微分方程通过迭代计算进行求解。这里，我们利用四阶龙格库塔法⑵式的速率方程进行求解，从而得到脉冲传输过程中各点的自由载流子密度情况。初始条件为N（0，0）=0，则具体算法思路如下：
按照以上算法不断迭代下去，可计算出任意位置处任意时刻的载流子密度N（z，t）。
2.3 仿真结果及分析
我们对脉冲宽度为Top=100ps，六种不同入射功率情况下波导中的自由载流子损耗系数随时间分布进行了求解，结果如图2。
从图2可以看出，在脉冲宽度相同情况下，不同入射功率时，自由载流子损耗系数随时间的变化趋势相同。在脉冲前沿前期的大部分时间内（-4Top～-0.3Top），载流子吸收损耗系数随脉冲光强的增长十分缓慢；在脉冲前沿的后阶段（-0.3Top～0），自由载流子吸收损耗系数随光强迅速增长，当脉冲幅度达到最大时（t=0时刻），载流子损耗系数增长至最大值的63.8%；而在脉冲后沿阶段，随着脉冲幅度减小，载流子吸收损耗系数先继续增长，在t=0.701Top时刻，达到最大值，然后缓慢下降。由于自由载流子吸收损耗在脉冲前沿的大部分时间内处于较低水平，而在脉冲后沿大部分时间内维持较高值，对脉冲前沿的吸收损耗较小而脉冲后沿因吸收较大而得到很大衰减，从而导致整个脉冲压缩。由于自由载流子吸收损耗主要发生在脉冲后沿，因而这种脉冲压缩是非对称的，整个脉冲中心将会前移。
同时从图2可以看出，当脉冲宽度一定时，脉冲峰值功率对双光子吸收及自由载流子吸收损耗具有决定作用，从而影响脉冲在硅基纳米波导中的整形效果。脉宽为100Ps、峰值功率为10W～50W高斯脉冲在硅基纳米波导中传输10mm距离过程中3dB脉冲宽度演变情况如图3。
从图3可以看出，五种不同入射功率情况下，只有当入射功率为10W时，3dB宽度随传输距离的增加由1Top缓慢增大，在传输距离2.96mm处达到最大值1.23Top，然后缓慢压缩至1.207Top。其他四种功率入射时，先经历一个不同距离的迅速增长过程，然后进入快速下降过程，即脉冲先经历快速展宽后又进入快速压缩阶段。当入射功率越大，双光子吸收效应越强，脉冲前期展宽也越快，脉冲宽度迅速增至最大值；同时，由于自由载流子密度越大，自由载流子吸收效应越强，脉冲宽度衰减也越快。随着传输距离继续增加，3dB脉冲宽度则又进入缓慢增长过程，即脉冲再次经历缓慢展宽过程。对于入射功率为50W时（图3中红实线），在前0.247mm传输距离中，3dB脉冲宽度经历了快速增长过程，在0.247mm处达到最大值1.44Top，脉冲展宽比为44%；然后进入快速下降阶段，于5.33mm距离处降至0.6392Top，这时脉冲压缩比达36.1%。
图4给出了上述五种不同入射功率脉冲在传输距离10mm处的输出脉冲波形。图4表明，随着入射脉冲功率增加，输出脉冲宽度越小，脉冲压缩程度越大。由于自由载流子吸收主要发生在脉冲后沿时间段，因此，自由载流子吸收引起脉冲压缩同时也使得整个脉冲中心前移，且入射功率越大，前移量就越大。同时，由于脉冲后沿期间的自由载流子吸收强度有限，导致输出脉冲后沿出现明显基座。
3 结论
当同时考虑皮秒脉冲在硅基纳米波导中传输时的双光子吸收和自由载流子吸收时，双光子吸收效应会引起脉冲展宽，而自由载流子吸收效应则导致脉冲压缩，脉冲的最终形状则决定于二者的综合作用效果。由于该过程除了与硅基纳米波导本身的结构有关外，还与脉冲宽度、峰值功率和传输距离等因素相关。因此，在实际应用之前，前期的数值模拟显得尤为重要，它为后期的实际应用提供了可靠的理论参考。
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