浅水波方程建立 分析及应用 英文版 JG58
姚征+钟万勰
摘要：不同于传统流体力学，在Lagrange坐标下推导浅水波方程.若将水平位移作为基本变量，则推导出的浅水波数学模型可描述为固体力学的非线性大位移问题.运用不可压缩条件，通过变分原理推导出位移法浅水波方程，给出椭圆函数形式的行波解，并分析孤波解产生的条件.该基础研究建立了在分析结构力学中分析浅水波问题的理论基础，有利于进一步开展水动力学的研究.
关键词：
浅水波； Lagrange坐标； 孤立波； 椭圆函数； 微分代数方程； 保辛； 分析结构力学
中图分类号： O353.2
文献标志码： A
Abstract：The shallow water wave equation is obtained in Lagrange coordinates， which is different from the traditional hydrodynamics. The horizontal displacement is defined as the basic variable， and the deduced mathematical model of shallow water wave just likes the nonlinear large displacement problem in solid mechanics. Under the incompressible condition， the variational principle for shallow water dynamic equation is given on the basis of the displacement method， and the corresponding elliptic traveling wave solutions are presented the conditions of obtaining solitary wave solutions are also discussed. As a basic research work， the present study establishes the theoretical foundation of analyzing the shallow water waves in analytical structural mechanics and is valuable for the further research in hydrodynamics.
Key words：
shallow water wave； Lagrange coordinate； solitary wave； elliptic function； differentialalgebraic equation； symplectic constraint； analytical structural mechanics
0 引 言
中国沿海有广阔的大陆架及浅海区，面积较小的渤海平均水深只有25 m，主要由浅海构成，但现阶段中国总体海洋开发程度和利用率都很低.发展中国的海洋事业就需要进行浅海的开发研究.浅海的波浪直接影响渔业、运输和勘探作业等.因为浅海几十米的深度相对于广阔的海洋延伸尺度而言是很小的，所以其波动主要以浅水波为主.因此，对浅水波进行理论研究与分析对中国近海作业的发展有很大的推动作用.
对浅水波理论和方程[1-3]的研究历史悠久，但主要是在Euler坐标系下进行研究，其中著名的KdV浅水波方程就是在Euler坐标系下推导出的.浅水波的速度分布与水深无关，表明位移也与水深无关，这正满足杆件的刚性横截面假定.在Lagrange坐标系下，利用位移法可以推导出一套与传统的浅水波KdV方程完全不同的浅水波方程.于是，分析力学的变分原理即可运用正则变换、近似解的保辛积分等有效手段使数值求解得到很多方便.
1 KdV方程及其行波解
可以看出：式（27）与KdV方程得出的孤波解式（6）比较相似，只是在相同水深和波高的情况下KdV方程的孤波解的波速大于位移法所给出的波速.还应当指出，纯位移法提供过多的约束，从线性系统本征值的变分原理可知，纯位移约束总是使本征值单向提高，即结构的刚度提高.
3 位移法浅水波方程与传统KdV方程的差别
位移法浅水波方程和KdV方程都存在椭圆余弦波的周期解，而且也都导出孤波解，那么位移法方程与传统KdV方程在推导上存在什么不同，解又有什么差异呢？
首先，线性近似的结果是一致的，都支持水平速度沿高度不变的假定；其次，位移法考虑大变形.根据分析力学Lagrange体系的基本要求，运动学约束的不可压缩条件是严格满足的，然后根据变分原理导出动力方程.传统KdV方程是从速度势φ的Laplace方程div（grad φ）=0，即散度为0，进行φ的小参数展开而推导的.零次项近似支持线性理论，一次项自动为0，二次项导出KdV方程.grad φ=u意味着速度严格保证无旋条件，但无旋条件是动力学的条件，意味着无切力.小参数展开意味着散度为0的条件是近似满足的，也就是说运动学条件被放松了.
于是，很明显2种推导的差别在于：位移法推导严格满足运动学（协调）条件，于是可运用分析结构力学，沿着变分原理的路子走，当然保辛[11-13]；进一步对其非线性微分方程的积分可考虑保辛等基本要求，这是其重要的优点；传统KdV方程的推导则放松运动学条件，部分满足动力学条件，是否保辛尚需探讨.
既然位移法浅水波方程的推导和积分运算可以保辛，那么相对传统的KdV方程又存在什么优势？下面就通位移法浅水波方程与KdV方程的孤波行波解所存在的差异讨论2种方程的优缺点.
