椭圆柱声子晶体之频散特徵 -成大研发快讯 文摘
张昭++苏开创+韩星凯
摘要： 基于有限元法计算分析散射体材料属性和散射体形状对单面柱板结构局域共振型声子晶体带隙特性的影响，并通过计算单胞位移特征模式解释声子晶体带隙特性变化的物理机理.结果表明：散射体的密度和弹性模量以及散射体形状通过改变声子晶体单胞局域状态，对声子晶体带隙特性产生很大影响.总结声子晶体板结构低频带隙特性变化规律，为工程减振降噪提供参考.
关键词： 声子晶体； 散射体； 基体； 带隙特性； 位移特征模式； 密度； 弹性模量； 减振降噪
中图分类号： O481.1； TB535 文献标志码： A
0 引 言
声子晶体是由一种或几种弹性材料周期排列在基底材料中形成的一类人工复合材料.[1]周期性复合材料或结构的声子晶体可以阻挡某些频率的弹性波传播，这种现象称为声子晶体带隙或禁带.[2]频率落在带隙范围内的弹性波理论上在声子晶体中被禁止传播，对应到有限尺寸的声子晶体周期结构，带隙频率范围内的弹性波在传播过程中会产生指数衰减.[3]研究认为，声子晶体带隙产生的机理有2种：布拉格散射型和局域共振型.[4]前者主要是结构的周期性起主导作用，当入射弹性波的波长与结构的特征长度（晶格常数）相近时，将受到结构强烈的散射；后者则是单个散射体的共振特性起主导作用.[5]LIU等[6]提出局域共振型声子晶体理论.根据局域共振理论，相同特征长度的局域共振型声子晶体带隙频率要低于布拉格散射型声子晶体带隙频率2个数量级[7]，这使得声子晶体小尺寸控制大波长成为可能.为实现低频减振降噪领域声子晶体的实际应用，目前出现针对各种声子晶体结构[8-11]的研究，其中关于Lamb波在声子晶体板结构中传播[12-14]的研究尤其引人注意，特别是橡胶吸声层声子晶体结构广泛应用于潜艇等水下装备，用于吸收干扰声波或噪声[15].YU等[16]提出一种极具应用前景的局域共振型单面柱板结构声子晶体，对该结构声子晶体低频带隙特性受部分几何参数影响进行计算研究和物理解释.除声子晶体单胞几何参数外，材料参数和散射体形状对声子晶体带隙特性也可能有很大影响，对其进行研究将非常有利于低频带隙特性声子晶体的实际应用.
本文采用有限元法，使用多物理场分析软件COMSOL建立单面柱板结构声子晶体单胞模型，计算分析声子晶体散射体材料密度、弹性模量和改变射体形状对声子晶体带隙特性的影响；同时使用多物理场分析软件COMSOL计算声子晶体单胞位移特征模式，给出声子晶体带隙特性变化的物理解释.这些计算和分析可为这种极具前景的声子晶体板结构的实际应用铺平道路，也为其他类似具有低频带隙特性的局域共振型声子晶体结构的设计和应用提供参考.
1 声子晶体带隙计算的有限元法
利用多物理场分析软件COMSOL求解弹性波在声子晶体中的波动方程.由于声子晶体是周期结构，依照Bloch定理，计算可在一个单胞内完成.[17]对模型划分网格后，单胞离散形式的特征值方程为
2 带隙特性计算和位移特征模式分析
首先，将本文计算结果与文献[16]对比验证本文计算方法准确性.圆柱散射体声子晶体单胞有限元模型见图1，单胞基体底面（正方形）边长a=10 mm，基体厚度e=2 mm，散射体高度h=10 mm，圆柱散射体半径r=4.5 mm.基体所用材料为橡胶，散射体所用材料为钢，材料参数见表1.
使用多物理场分析软件COMSOL计算得到的声子晶体带隙特性见图2.圆柱散射体半径r=4.5 mm时计算得到的声子晶体第一带隙数据与文献[16]对比结果见表2.由此可以看出：第一带隙中心频率、带宽和截止频率误差都很小，验证本文模型和计算方法准确可信.
取散射体半径r=4 mm，单胞模型其他几何尺寸不变.单胞的基体材料为橡胶，散射体材料以钢为基准，改变散射体材料的密度，计算分析声子晶体带隙特性变化规律，结果见图3.
由图3可知：散射体密度对第一带隙截止频率影响很小几乎可以忽略，但对第一带隙起始频率影响很大；当散射体密度很小时，几乎没有带隙产生；而散射体密度足够大时，就会产生明显带隙，且散射体密度大于7 000 kg/m3后，第一带隙起始频率下降变得平缓，产生的低频带隙带宽慢慢趋于稳定.
计算声子晶体单胞的位移特征模式，进而分析散射体材料的密度变化影响声子晶体带隙特性的物理机制.分别计算散射体密度为1 000，3 000，5 000，11 000，15 000和19 000 kg/m3时的声子晶体带隙（第一带隙）起始频率和截止频率顶点对应波矢点的6组单胞位移特征模式，见表3.
由此可以发现：随着散射体密度逐渐增大，起始频率顶点对应波矢点的单胞振动能量集中从基体上转移到散射体上，呈现明显的局域状态，而截止频率顶点的单胞位移特征模式几乎没有变化.由此可以解释上面计算得到的带隙特性随散射体密度变化规律（见图3）：当散射体密度增大时，根据简单弹簧模型公式f=k/m/2π，起始频率的单胞散射体振子（振动能量集中的部分）质量逐渐变大而截止频率的单胞基体振子（此时单胞振动能量总是集中在单胞基体的4个边角上）质量几乎不变，弹簧刚度总是散射体和4个基体角边相连接的基体部分的刚度且几乎保持不变，故声子晶体带隙起始频率降低而截止频率基本不变，低频带隙曲线打开变宽.
仍取散射体半径r=4 mm，单胞模型其他几何尺寸不变.单胞的基体材料为橡胶，散射体材料以钢为基准，改变散射体材料的密度，计算分析声子晶体带隙特性变化规律，结果见图4.
由图4可知：改变散射体弹性模量，其他保持不变，第一带隙起始频率和截止频率随弹性模量的增
大逐渐变大.当散射体弹性模量大过橡胶基体的弹
性模量1.175×105 Pa后，截止频率的变大速率明显更快，产生的低频带隙带宽明显变大.当散射体弹性模量大于1.175×107 Pa后，声子晶体带隙趋于稳
定.
计算散射体弹性模量为1.175×103，1.175×104，1.175×105，1.175×106，1.175×107，1.175×108 Pa时的声子晶体带隙（第一带隙）起始频率和截止频率顶点对应波矢点的6组单胞位移特征模式，见表4.由此可以看出：随着散射体弹性模量逐渐增大，起始频率顶点对应波矢点的单胞位移特征模式单胞振子在散射体上由大变小.弹簧部分是与散射体振子相连接的基体橡胶，其弹性模量不变，根据简单弹簧模型公式f=k/m/2π，m变小而k不变.截止频率单胞振子由钢散射体转移到橡胶基体的4个角上，弹簧部分总是位于与散射体相连接的橡胶基体上，故m变小且变化很大，k不变.这也可解释前文计算得到的声子晶体带隙特性随散射体弹性模量的变化规律（见图4），当散射体弹性模量变大时，起始频率和截止频率均变大但截止频率变化更显著，低频带隙打开变宽.
除圆柱散射体几何尺寸大小（圆柱散射体半径和高度）会影响声子晶体带隙特性外，散射体的几何形状也可能会对声子晶体带隙特性有重要影响.为此，把散射体几何形状由圆柱体改为长方体，单胞有限元模型见图5，长方散射体的高度h=10 mm保持不变，改变长方散射体的底面（正方形）边长，计算得到带隙特性变化规律见图6，且与圆柱散射体声子晶体带隙特性作对比，见图7.
由图6和7可以看到：散射体底面边长对第一带隙起始频率影响不大，但对第一带隙截止频率有很大影响，与圆柱散射体情况下圆柱半径对第一带隙的影响一致.
对比发现，散射体的高度和体积相同时，2种声子晶体的第一带隙起始频率几乎相同，但长方散射体声子晶体的第一带隙截止频率明显大于圆柱散射体声
子晶体，因此长方散射体声子晶体比圆柱散射体声子晶体有更好的低频带隙特性.
声子晶体带隙特性，二者起始频率和截止频率对比见表5.由此可知：等高等体积的长方散射体声子晶体带隙特性明显优于圆柱散射体声子晶体.计算2种散射体截面的刚度见表6，分别对比二者起始频率带隙顶点对应波矢点的单胞位移特征模式和截止频率带隙顶点对应波矢点的单胞位移特征模式见表7.由表7可知，关于起始频率带隙顶点对应波矢点的单胞位移特征模式，二者都是弯曲振动，但由于长方散射体截面抗弯刚度略大于圆柱散射体截面抗弯刚度，导致前者带隙起始频率略大于后者且相差不大；关于截止频率带隙顶点对应波矢点的单胞位移特征模式，长方散射体声子晶体单胞主要是基体的扭转和弯曲振动，圆柱散射体声子晶体单胞主要是基体的弯曲振动，故前者的总刚度明显大于后者，导致长方散射体声子晶体带隙截止频率明显高于圆柱散射体声子晶体带隙截止频率.
3 声学应用实例
综合前文研究结果，在实际常用材料中选用最优材料组合，采用合适的声子晶体单胞构型，得到低频带隙性能最优的声子晶体板用于声学降噪隔声.汉语的声能密度一般都集中在200～700 Hz，实际常用材料见表8.
为得到低频弹性波带隙，基体材料采用橡胶，分别选用钨、铜、钢、铝作为散射体材料；声子晶体单胞采用低频带隙特性更好的长方散射体单胞构型，散射体底边边长b=9 mm，其他几何参数不变.计算得到4种声子晶体带隙特性见表9.对比发现：铝作为散射体材料得到的声子晶体带隙特性明显不如另外3种材料；钨、铜、钢分别作为散射体材料时，都能符合汉语声能密度集中在200～700 Hz频率范围的降噪隔声要求.铜和钢的密度远小于钨，钢远比铜经济且轻质，因此，基体材料为橡胶、散射体材料为钢的长方散射体单面柱板结构声子晶体是降噪隔声最佳方案.
取8×8声子晶体有限周期板考察振动传输特性，验证单面柱板结构声子晶体设计和带隙特性计算的有效性.选择基体材料为橡胶、散射体材料为钢的长方散射体声子晶体板，8×8声子晶体板结构几何模型见图8.使用COMSOL软件进行频率响应分析，从板的一端输入幅值为单位值的位移频谱，x轴正方向为位移频谱方向，频率范围为100～1 500 Hz，得到板另一端即输出端的位移响应平均值，结果见图9.
由图9可知：带隙频率范围内声子晶体周期板减振效果明显，且频响分析减振频率范围和前文计算得出的带隙范围几乎重合，验证本文单面柱板结构声子晶体设计和带隙计算的有效性.
4 结 论
（1）单面柱板结构声子晶体材料参数中，散射体的密度和弹性模量足够大时，都会产生优良的低频带隙，二者对声子晶体带隙特性有很大影响.
（2）将单面柱板结构声子晶体散射体形状改变为长方体，发现等高等体积散射体条件下，长方散射体声子晶体比圆柱散射体声子晶体具有更好的低频带隙特性.
（3）从声子晶体单胞位移特征模式可以得出，声子晶体带隙特性随散射体材料密度和弹性模量变化规律可以用简单弹簧振动模型来解释，简单弹簧模型的振子质量发生变化（弹簧刚度几乎不变），进而导致声子晶体带隙特性改变.改变散射体形状，保持散射体体积和材料常数不变，结合声子晶体带隙顶点对应波矢点的单胞位移特征模式，可以认为单胞振动截面刚度的变化导致声子晶体带隙的变化.
（4）计算对比得出以钢为散射体、橡胶为基体的长方散射体单面柱板结构声子晶体能很好地应用于实际声学低频降噪隔声，说明合理选用材料组合和单胞构型，声子晶体可以在工程实际中发挥重要作用.
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