CAE软件操作小百科11
张晓前
1COMSOL中PDE模块如何实现对高于2阶的偏微分方程的建模？
COMSOL中PDE模块的偏微分方程的通式涵盖很多常用方程，一般可以通过常数的不同取值模拟常见问题.但是，对于高于2阶的偏微分方程，PDE模块不能直接模拟，可以采用2种处理方式.
1.1化高阶偏微分方程为低阶偏微分方程组
固体力学中的控制方程往往高于2阶，如平面问题的控制方程为双调和方程〔式（1）〕，因而不能在COMSOL中直接通过PDE模块建模，但是可以采用化为方程组的形式降阶.双调和方程通过引入P和Q〔式（2）〕，将双调和方程变成式（3）的形式.这样就可以通过PDE模块进行建模.
uxxxx+uxxyy+uyyyy=f （1）
uxx=P
uyy=Q （2）
Pxx+Pyy+Qyy=f
uxx=P
uyy=Q （3）
P和Q本质上不是独立变量，但是求解u需要2阶导数的边界值作为定解条件，可以根据工况施加狄里克雷条件或者纽曼条件，见图1.
子域内的控制方程可以通过式（3）确定相应系数.
1.2采用中间变量建立控制方程
每个PDE模块在定义时会声明1个或者几个变量，第1种方法就是声明u，P和Q这3个变量.该方法只声明1个变量u，但是会在子域表达式中定义新的中间变量，并且用中间变量定义控制方程.
例如，对一种新型本构采用PDE模块进行建模，该本构涉及比较复杂的材料属性和几何属性，传统的结构力学模块无法解决.为简化运算，采用球对称的几何模型，而此种新型本构的材料属性和几何特性都是各向同性的，因而其实其内部的控制方程就是一个球坐标无体力的平衡方程，见图2.
图2中的PK11和PK22分别代表径向应力和环向应力.按照图2简化方程，可以得到球坐标的无体力平衡方程.该例研究的本构不是传统的本构，会导致2个应力的表达式与传统的表达式不同，所以在子域表达式中根据自己的推导用位移表达2个应力，再结合相应的边界条件，就可以求解整个模型.此外，由于此PDE模块的变量只有u，所以虽然u没有在方程中显式地出现，但是整个方程都基于u进行求解.
需要注意的是，该方法有一定局限性，即在用自己定义的中间变量构造图2中的通式时，不能把所有项都放在同一个字母对应的项中（比如都放在a的位置，其余的都为0），此做法会导致COMSOL在求解方程时遇到总刚为0的情况，因为COMSOL默认把放在同一个字母中的项视为一项而无法形成总刚.
2COMSOL建模分析时分段函数的实现和应用
若某个变量随参数或者自变量的变化有分段函数的性质，则可在COMSOL中通过变量与逻辑表达式的组合实现.比如，一个标量表达式为T=a×b，如果在b为正时成立、在b为负时为0，则可以通过T=a×b×（b>0）实现.在有些建模分析过程中，上述逻辑表达式的引入能很好地改善模型的合理性问题，例如：能量、频率和浓度等出现负值是不合理的；有时这种处理可以改善模型的异常不收敛问题.此外，此表达式还可以用来设置分段的边界，还可以进一步采用Heaviside阶跃函数实现光滑地分段函数，也可以改善模型的收敛性.
3COMSOL模型调试时报错“Error： Failed to find consistent initial values. Last time step is not converged”的常见原因
在COMSOL模型调试时，此错误经常出现.首先要说明的是，在调试程序时，COMSOL与其他程序一样，需要遵循由浅入深的过程，即首先建立简单的没有错误的程序，然后再不断复杂，贴近真实情况.出现此报错常见的原因主要有2个：一是初始条件的值不合理，此错误可以通过与已有的物理模型对比解决；另一个很可能的问题就是某个参数或者函数值取得过大，导致其超出收敛半径而发散.第二个问题不太容易发现，需要由浅入深地建立模型或者进一步简化模型以查看收敛性，找到可能导致其发散的参数或者过大的函数.
4COMSOL建模过程中积分函数的处理
比较复杂的模型可能会涉及到复杂的积分函数，而积分偏微分方程（组）的有限元理论很难处理，尤其是在求解的同时还要计算积分函数更为棘手.对于比较简单的问题，可以通过进一步求导将其转化为纯粹的偏微分方程（组）进行求解.对于难以转化成微分方程（组）的方程，可以通过创建新的中间变量而在模型中运用其（偏）导数进行建模，可以避免这一问题.
（摘自同济大学郑百林教授《CAE操作技能与实践》课堂讲义）
