锥齿轮齿根应力有限元模型和分析研究 一
摘要： 从齿轮加工原理出发，利用渐开线和齿根过渡曲线方程生成轮齿的精确齿形，建立2种等效直齿锥齿轮三维轮齿几何模型，研究渐开线直齿锥齿轮的精确建模方法.分别使用h单元和p单元分析计算直齿锥齿轮齿根应力，建立直齿锥齿轮三维轮齿齿根应力有限元计算模型和计算基准.计算结果与ISO国标公式比较，证明模型的正确性、精确性和可靠性.
关键词： 直齿锥齿轮； 有限元； 三维轮齿； 几何模型； 齿根应力； CAE
中图分类号： U4文献标志码： B
Abstract： From the principle of cutting bevel gear process， the precision tooth shape of a gear is generated by involute and root fillet equation， two types of the 3D tooth geometry model of straight bevel gears are built equivalently， and the precision modeling method of involute straight bevel gear is studied. The root stresses of bevel gears are computed respectively by helement and pelement. The finite element computation model and benchmark of root stresses of a bevel gear are created. The computation result is compared with the result calculated by ISO equations， and the correctness， accuracy and reliability of the model is tested.
Key words： straight bevel gear； finite element； 3D tooth； geometry modeling； root stress； CAE
引言
通过国家高技术研究发展计划（“八六三”计划）项目，我国成功制造出大型锥齿轮自动化加工设备，为制造业振兴和齿轮传动技术的创新发展建立新的基础.锥齿轮作为齿轮传动的重要零件，历来是设计和研究的重点.由于锥齿轮的独特性，建模有一定困难：首先，需要三维CAD/CAE软件；其次，模型复杂性需要空间思维并开发专用程序.因此，对圆锥齿轮的研究比对圆柱齿轮（直齿轮和斜齿轮）的研究要少.面向直齿轮的齿根应力和CAE的研究已有很深的基础，有使用ANSYS软件的计算标准，但是面向锥齿轮齿根应力和CAE的研究没有正规的模型和计算标准，因此需要对锥齿轮模型和应力计算的正确性、精确性和可靠性进行研究.本文研究直齿锥齿轮的精确建模方法，提出2种模型方法，并对这2种模型方法的齿根应力计算进行比较.
有限元法的出现使齿轮应力分析变得方便，计算精度更可靠.与传统计算方法相比，有限元法能处理较复杂的载荷工况和边界条件，较全面地反映齿轮体的应力场、齿根应力集中和轮齿变形等.随着计算机的发展，三维模型和分析越来越容易，为锥齿轮齿根应力计算和研究提供方便.文献[1]建立直齿锥齿轮单齿三维有限元计算模型，但计算的正确率和准确度都不高.也有人进行直齿锥齿轮齿根应力计算，使用近似齿根圆角或使用h单元，但由于计算有几何误差和离散误差，计算模型的精确度和可靠性较差.本文研究渐开线直齿锥齿轮的精确建模方法，从锥齿轮加工原理出发，实现将二维直齿轮模型转换为三维直齿锥齿轮，不仅模型的构造过程简单，而且准确性得到保证.考虑直齿锥齿轮齿根应力的计算载荷和分布、加载位置、轮缘厚度以及轮毂和周向齿数，分别使用h单元和p单元计算，研究计算模型的精确性，将计算结果与ISO和国标公式计算结果比较，验证模型的正确性和可靠性.
1直齿锥齿轮几何模型
直齿锥齿轮的齿廓曲线是球面曲线（球面渐开线），而齿根过渡曲线更复杂，因此齿廓曲线和齿廓曲面的产生相对复杂.但是，锥齿轮传动很容易等效为锥齿轮背锥的当量齿轮传动，而当量齿轮传动是一对直齿轮传动.因此，考虑把当量齿轮的轮齿二维模型转变为三维锥齿轮轮齿模型.
1.1锥齿轮背锥单齿几何模型
在ANSYS中使用2种单元的2种方法求解：一种使用h单元，通过网格加密h方法求解；另一种是使用p单元，通过提高单元形函数的多项式级数p方法求解.通过应用可知：通常h单元计算有比较大的计算误差，而p单元计算误差很小，网格密度要求不是很高.早在1971年，ZIENKIEWICZ等[4]提出分级有限元的概念，并以此为基础推出有限元的h型加密和p型加密方法.在有限元法中结构位移u的近似式为u≈u～=ni=1Niai（6）如果n增加至n+1时形函数Ni（i=1，2，…，n）不变，这个近似式就称为分级的.显然单元细分同时也就引进完全不同的形函数，因此标准有限元表达式不是分级的，如等参单元：20节点三维实体等参单元形函数的多项式n=20.在ANSYS中应用h型加密略显复杂，不如直接网格加密，p型加密要简单些，网格不变，直接提高形函数的多项式次数，程序可自动执行.
2.1h单元计算
三维分析使用三维20节点实体单元.在ANSYS中h单元实际上就是等参单元.模型分别为仅轮缘和包括轮毂的3齿模型，载荷分别作用在齿顶和单齿最高啮合点.建立2种几何模型划分网格，网格划分完全一样.计算结果见表2.在表2中，模型1为齿向10个单元模型，模型2为齿向20个单元模型，模型1和2都是背锥面为锥面的几何模型.由表2可知，使用h单元计算可靠性不够，包括轮毂和仅轮缘的3齿模型计算结果基本一致，载荷作用在齿顶时齿根应力误差很小，而在最高啮合点应力误差较大.h单元载荷可以作用在中间节点，p单元只能作用在单元节点.中间节点载荷为单元载荷的2/3，其他节点为1/6，可以减少载荷分布误差.计算载荷为等效线性分布载荷，载荷等效作用在单元节点（不包括中间节点）上，计算的直齿锥齿轮齿根应力分布见图4～6.图4表明网格模型有一定离散误差，模型精度不高，在单齿最高啮合点计算结果有误差，且计算模型在齿向离散误差较大；图5中计算误差明显减少；图6比图5齿根应力分布更合理，计算精度进一步提高.
3结束语
直齿锥齿轮的建模比较复杂，利用直齿轮二维模型在三维空间变换，建立直齿锥齿轮轮齿模型，将构造模型的过程简单化，从而构造锥齿轮齿根应力的计算模型.使用背锥面为锥面和球面构造的轮齿模型计算的齿根应力大小和分布基本一致，误差很小.在ANSYS中使用传统h单元，计算结果能够反映模型之间的差别和离散计算误差，计算数值有误差，计算结果的可靠性低.使用p单元计算能够精确可靠地得到计算结果，但计算代价比较大，需合理安排网格才能够减少计算费用.使用h单元增加计算模型的节点和单元数量也能够得到与p单元计算相同的结果，但计算量和费用更高.[8]
直齿锥齿轮齿根应力计算结果与ISO公式计算结果比较说明有限元计算结果的正确性，也反映锥齿轮的特殊性.本文计算模型和结果正确、可靠、精确，但由于锥齿轮三维模型为曲面，单元网格有奇异性，网格质量不高，载荷作用有方向性和分布性，减小模型的误差还需要进一步研究，模型的可靠性需要进一步证实.
直齿锥齿轮齿根应力精确计算为分析等效模型的误差和精度打下基础，是锥齿轮标准设计和优化设计的基础.同时，为正确精确分析齿轮参数对齿根应力的影响和比较不同齿轮（斜齿和螺旋齿）齿根应力大小、实现创新设计做好准备.
随着直齿锥齿轮齿根应力有限元模型研究的发展，进一步研究一对锥齿轮三维啮合接触模型，螺旋锥齿轮三维模型及其齿根应力和接触应力分析，等高齿锥齿轮模型和分析等，锥齿轮的有限元分析和CAE将会进一步发展.ANSYS在锥齿轮几何模型方面还需要进一步开发研究，对由曲面构成体的操作能力需要发展.参考文献：
[1]周延泽， 吴继泽. 直齿锥齿轮齿根应力的有限元分析[J]. 北京航空航天大学学报， 1996， 22（1）： 8889.
ZHOU Yanze， WU Jize. Finite element analysis of tooth root stress of straight bevel gear[J]. J Beijing Univ Aeronautics & Astronautics， 1996， 22（1）： 8889.
[2]吴继泽， 王统. 齿根过渡曲线和齿根应力[M]. 北京： 国防工业出版社， 1989： 1128.
[3]秦建旭， 贺敬良. 锥齿轮弯曲强度有限元分析精确模型的研究[J]. 机械设计， 2009， 26（7）： 937.
QIN Jianxu， HE Jingliang. Dynamic modeling of rotor in noninertia system[J]. J Machine Des， 2009， 26（7）： 937.
[4]ZIENKIEWICZ O C， GAGO J P D S R， KELLY DW. The hierarchical concept in finite element analysis[J]. Computers & Structures， 1983， 16（14）： 5365.
[5]中华人民共和国机械工业部. GB 10063—1988 锥齿轮承载能力计算方法[S]. 北京： 中国标准出版社， 1991.
[6]GB/T 10062.3—2003锥齿轮承载能力计算方法： 第3部分： 齿根弯曲强度计算[S].
[7]杨生华. 齿轮接触有限元分析[J]. 计算力学学报， 2003， 20（2）： 189194.
YANG Shenghua. Finite element analysis of gear contact[J]. Chin J Comput Mech， 2003， 20（2）： 189194.
[8]杨生华， 李根国. 齿轮齿根应力和轮齿变形的三维整轮仿真[J]. 计算机辅助工程， 2013， 22（2）： 3640.
YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（编辑武晓英）
3结束语
直齿锥齿轮的建模比较复杂，利用直齿轮二维模型在三维空间变换，建立直齿锥齿轮轮齿模型，将构造模型的过程简单化，从而构造锥齿轮齿根应力的计算模型.使用背锥面为锥面和球面构造的轮齿模型计算的齿根应力大小和分布基本一致，误差很小.在ANSYS中使用传统h单元，计算结果能够反映模型之间的差别和离散计算误差，计算数值有误差，计算结果的可靠性低.使用p单元计算能够精确可靠地得到计算结果，但计算代价比较大，需合理安排网格才能够减少计算费用.使用h单元增加计算模型的节点和单元数量也能够得到与p单元计算相同的结果，但计算量和费用更高.[8]
直齿锥齿轮齿根应力计算结果与ISO公式计算结果比较说明有限元计算结果的正确性，也反映锥齿轮的特殊性.本文计算模型和结果正确、可靠、精确，但由于锥齿轮三维模型为曲面，单元网格有奇异性，网格质量不高，载荷作用有方向性和分布性，减小模型的误差还需要进一步研究，模型的可靠性需要进一步证实.
直齿锥齿轮齿根应力精确计算为分析等效模型的误差和精度打下基础，是锥齿轮标准设计和优化设计的基础.同时，为正确精确分析齿轮参数对齿根应力的影响和比较不同齿轮（斜齿和螺旋齿）齿根应力大小、实现创新设计做好准备.
随着直齿锥齿轮齿根应力有限元模型研究的发展，进一步研究一对锥齿轮三维啮合接触模型，螺旋锥齿轮三维模型及其齿根应力和接触应力分析，等高齿锥齿轮模型和分析等，锥齿轮的有限元分析和CAE将会进一步发展.ANSYS在锥齿轮几何模型方面还需要进一步开发研究，对由曲面构成体的操作能力需要发展.参考文献：
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[6]GB/T 10062.3—2003锥齿轮承载能力计算方法： 第3部分： 齿根弯曲强度计算[S].
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YANG Shenghua. Finite element analysis of gear contact[J]. Chin J Comput Mech， 2003， 20（2）： 189194.
[8]杨生华， 李根国. 齿轮齿根应力和轮齿变形的三维整轮仿真[J]. 计算机辅助工程， 2013， 22（2）： 3640.
YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（编辑武晓英）
3结束语
直齿锥齿轮的建模比较复杂，利用直齿轮二维模型在三维空间变换，建立直齿锥齿轮轮齿模型，将构造模型的过程简单化，从而构造锥齿轮齿根应力的计算模型.使用背锥面为锥面和球面构造的轮齿模型计算的齿根应力大小和分布基本一致，误差很小.在ANSYS中使用传统h单元，计算结果能够反映模型之间的差别和离散计算误差，计算数值有误差，计算结果的可靠性低.使用p单元计算能够精确可靠地得到计算结果，但计算代价比较大，需合理安排网格才能够减少计算费用.使用h单元增加计算模型的节点和单元数量也能够得到与p单元计算相同的结果，但计算量和费用更高.[8]
直齿锥齿轮齿根应力计算结果与ISO公式计算结果比较说明有限元计算结果的正确性，也反映锥齿轮的特殊性.本文计算模型和结果正确、可靠、精确，但由于锥齿轮三维模型为曲面，单元网格有奇异性，网格质量不高，载荷作用有方向性和分布性，减小模型的误差还需要进一步研究，模型的可靠性需要进一步证实.
直齿锥齿轮齿根应力精确计算为分析等效模型的误差和精度打下基础，是锥齿轮标准设计和优化设计的基础.同时，为正确精确分析齿轮参数对齿根应力的影响和比较不同齿轮（斜齿和螺旋齿）齿根应力大小、实现创新设计做好准备.
随着直齿锥齿轮齿根应力有限元模型研究的发展，进一步研究一对锥齿轮三维啮合接触模型，螺旋锥齿轮三维模型及其齿根应力和接触应力分析，等高齿锥齿轮模型和分析等，锥齿轮的有限元分析和CAE将会进一步发展.ANSYS在锥齿轮几何模型方面还需要进一步开发研究，对由曲面构成体的操作能力需要发展.参考文献：
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[2]吴继泽， 王统. 齿根过渡曲线和齿根应力[M]. 北京： 国防工业出版社， 1989： 1128.
[3]秦建旭， 贺敬良. 锥齿轮弯曲强度有限元分析精确模型的研究[J]. 机械设计， 2009， 26（7）： 937.
QIN Jianxu， HE Jingliang. Dynamic modeling of rotor in noninertia system[J]. J Machine Des， 2009， 26（7）： 937.
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[7]杨生华. 齿轮接触有限元分析[J]. 计算力学学报， 2003， 20（2）： 189194.
YANG Shenghua. Finite element analysis of gear contact[J]. Chin J Comput Mech， 2003， 20（2）： 189194.
[8]杨生华， 李根国. 齿轮齿根应力和轮齿变形的三维整轮仿真[J]. 计算机辅助工程， 2013， 22（2）： 3640.
YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（编辑武晓英）
